D8：偏置对 SiLU 奇偶通路的影响

结论

在权重固定的单层 SiLU 模型中，偏置会改变特征对输入反射的响应。输入取反后不变的部分称为偶成分，变号的部分称为奇成分。输入尺度 a 很小时，已测固定偏置 b=0/1 的偶/奇能量比按 a² 变化；把偏置放在激活函数二阶导数的零点，变化改为 a⁶。这说明偏置可以改变两类成分的相对强弱，但尚未证明这样调整能改善训练或测试表现。

这种小尺度近似有精度限制。偏置相对零点的偏移按尺度平方变化时，解析极限在 a=0.0125/0.025/0.05 通过 2% 判据，在 a=0.075 与 a=0.1 均为 0/12 通过。新增 a=0.075 的极限误差为 2.596%–2.919%，四尺度差为 2.590%–2.836%。非对称输入、多层网络和交叉熵损失尚未验证。

以下测量限于对称 Gaussian（高斯）四维输入、128 个训练样本、宽度 64 的冻结单层 SiLU（激活函数见下式）。六个 seed（权重初始化随机种子）共享固定输入；所有隐藏单元使用同一个固定 bias（加性偏置）。普通 bias 与精确根的测量使用 MSE（均方误差）和全批量 GD（梯度下降）；近根及固定 λ 验证均为 0 新训练。

• 普通固定 bias 没有改变小尺度偶/奇能量比 R 的 a² 领先阶（a 趋近 0 时首先保留的幂次）。奇特征是输入反射后变号的部分；偶特征是反射后不变、再减去训练列均值的部分。R 是居中偶特征与奇特征的均方能量之比。在 a=0.025→0.05 时，b=0/1 的六 seed 增长分别为 3.984159–3.991788/4.002060–4.003272，指数均值分别为 1.995464/2.000962。指数指由有限尺度增长比换算的幂次。
• 在二阶导数正零点 b*=2.3993572805154675，二次偶项消失，四次偶项成为领先项。同尺度六 seed 的 R 增长为 63.953437–63.985564，均值 63.970738，指数均值 5.999340，符合 a⁶ 判据 [48,80]。
• 在固定近根 bias 网格上，保留二次、四次偶项及交叉项（两项相乘的贡献）的混合式解释了有限尺度 R。a=0.025/0.05 的 108 cell（单个 bias、尺度与 seed 条件）最大相对误差为 0.001192850。δ（bias 与根之差）=0/±1e−5 的六 seed 增长为 62.813129–65.187934，均满足 [60,68]；±1e−4 全部离开该窗口。正偏移的两项相消，使有效指数可低于 2 或高于 6；不能用单调 a²→a⁶ 描述转折。
• 固定 λ（偏移与尺度平方之比）=δ/a²=−3/+3 时，Q=R/a⁶ 在 a=0.0125/0.025/0.05 的三个尺度间相差不到 2%。12 个同 seed/λ 配对的 spread（最大 Q 与最小 Q 的比值减 1）为 0.011019256654–0.012094422622；36 cell 相对解析极限 F（固定 λ、a→0 时的 Q）的最大误差为 0.012907814800，均低于注册阈值 0.02。F 由旧投影矩（各次幂的均值）与导数确定，未拟合系数。

• 扩大到 a=0.1 后，λ=−3/+3 的原 2% 精度不再成立。12 个新 cell 的 abs(Q/F−1)=0.045673857405–0.052255236441，原判据 0/12 通过。加入保存的三个小尺度后，12 个四尺度配对的 spread=0.047094464030–0.051410247227，原折叠判据也为 0/12 通过。事前预测误差和 spread 均落在 [0.03,0.07]，两项均满足 12/12；小尺度结论和 a→0 解析极限保留。

• a=0.075 仍超过两项 2% 判据。12 个新 cell 的 abs(Q/F−1)=0.025956782989–0.029189276970；加入保存三个小尺度的 spread=0.025898649401–0.028362810341，两项均为 0/12 通过。逐 seed 点预测各允许 ±0.002 的两项新预测均 12/12 通过。这里的失败只限定有限尺度精度，不推翻小尺度结论或解析极限。

总偶能量不等于目标相关核能量（特征对指定目标的贡献），也不能单独推断最终拟合优劣。当前证据支持能量转折解释，未验证通路干预收益或 MSE 终点排序。

公式与符号

Taylor 展开（按输入尺度展开激活函数）给出以下解析式。公式本身不是新测量发现。

f(z) = z/(1+exp(−z))                         （SiLU）
O = [f(b+au) − f(b−au)] / 2
E = [f(b+au) + f(b−au)] / 2 − mean_train[f(b+au)]
R = mean(E²) / mean(O²)

普通 bias：R ≈ a² [f″(b)/2]² mean(U₂²) / [f′(b)² mean(u²)]
精确零点：R ≈ a⁶ [f⁗(b*)/24]² mean(U₄²) / [f′(b*)² mean(u²)]
近根混合：R₂₄ = [c₂² a² M₂₂ + 2c₂c₄ a⁴ M₂₄ + c₄² a⁶ M₄₄] / [f′(b)² M₂]
分项等能量：a_eq² = |c₂/c₄| √(M₂₂/M₄₄) ≈ |δ|/κ
κ = |f⁗(b*)/[12f‴(b*)]| √(M₄₄/M₂₂)
固定 λ=δ/a²：Q=R/a⁶ → F_s(λ)（a→0 的解析极限）
F_s(λ) = mean([f‴(b*)λU₂/2 + f⁗(b*)U₄/24]²) / [f′(b*)²M₂]

x 为四维输入，W 为冻结的 4×64 投影权重，u=xW 是 128×64 的训练投影。O/E 为反射定义的奇/居中偶特征，R 为它们的均方能量比。a>0 是输入尺度，b 是所有隐藏单元共用的加性偏置；反射输入时保持 b 固定。mean_train 按训练样本逐列平均，mean 对样本与单元一起平均。

Uₖ=uᵏ−mean_train(uᵏ) 为逐列居中幂，k 为幂次。f′、f″、f‴、f⁗ 分别为一至四阶导数。b* 是二阶导数正零点，δ=b−b* 是根附近偏移。c₂=f″(b)/2、c₄=f⁗(b)/24；M₂=mean(u²)、M₂₂=mean(U₂²)、M₂₄=mean(U₂U₄)、M₄₄=mean(U₄²)。

R₂₄ 为二次、四次偶项的混合预测，a_eq 为两分项能量相等的尺度，κ 为解析近根系数。六 seed 的 κ=1.088258–2.154200，f‴(b*)=−0.09153052016419218、f⁗(b*)=0.15259173097310152。系数由导数和各 seed 的投影矩确定，未拟合经验系数；a_eq 不是总能量增长或性能的临界点。

λ 是偏移与尺度平方之比，s 表示权重初始化 seed。Q=R/a⁶，F_s 是固定 λ、a→0 的解析极限。输入、特征、偏置、尺度、矩、系数及比值均无量纲。RMS 表示均方根；公共特征 RMS 归一化不改变 R。

结果与适用范围

普通 bias 与精确根的注册判据均通过。b=0/1 的增长均满足 [3.6,4.4]；b* 的增长均满足 [48,80]。a=0.025 的全部 18 个领先系数相对误差 ≤0.001327；按 b=0/1/b* 分组最大为 0.001326/0.000277/0.000234，均低于注册阈值 0.10。

近根混合式只验证了离散网格。δ=0、±1e−5、±1e−4、±1e−3、±1e−2，a=0.025/0.05 的 108 cell 最大误差为 0.119285%；a=0.0125/0.025/0.05/0.1 全尺度最大误差为 0.591217%。去掉交叉项时，主尺度最大误差为 86.129939%；该模型消融（去掉一项后的对照）只作描述证据，未另设预测判据。

有限尺度指数可以越出两种纯幂的范围。在 +0.01，指数为 0.970698–1.469961；在 +0.001，指数为 5.586400–7.279090。这没有推翻固定非零 δ 在 a→0 时的 a² 解析领先阶。|δ|=0.001 时，两侧 a_eq 合计为 0.021544978–0.030314131，与 0.025/0.05 的尺度对相比处于不同位置。分项等能量位置随 |δ| 的平方根变化。二/四次居中幂的相关系数为 0.743924–0.876959，不能忽略。未测中间 bias，不能给出连续容差或唯一临界值。

固定 λ 的三小尺度有效验证限于 λ=−3/+3；扩大尺度后的精度边界单独给出。旧矩事先给出 F_s=0.015779531472–0.140811355279；全部系数由导数和旧矩确定，未拟合。近根二/四次项随 δ=λa² 同阶，Q 的主项由 λ 与旧投影矩共同决定。12 个配对和 36 cell 均通过 0.02 判据，有限尺度误差仍存在，不能声称精确相等，也不提供连续 λ 或尺度阈值。

两侧有限尺度偏差方向相反。λ=−3 的六 seed 随 a=0.0125→0.05 增大，Q(0.05)/Q(0.0125)=1.011878275–1.012094423；λ=+3 为 0.988477488–0.989100844。每侧六 seed 的 spread 均值及 95% 初始化 t 区间分别为 0.012004764 [0.011927115,0.012082413]、0.011306954 [0.011064572,0.011549336]。这些区间只描述固定数据下的权重初始化；两侧方向是描述性观察，未单设预测。

a=0.1 的两项 2% 判据均在 12/12 条件失败。λ=−3 的 signed(Q/F−1) 为 0.050919364708–0.052255236441，λ=+3 为 −0.048208700074–−0.045673857405，方向符合事前预测。相对保存 a=0.05 的同 seed Q 比值分别为 1.037761578435–1.038846004608、0.963630607797–0.965547322982。两项新预测都要求数值落在 [0.03,0.07]，均 12/12 通过；这些范围不是置信区间。

加入 a=0.1 后，负侧和正侧四尺度 spread 均值分别为 0.050824847009、0.048331318440。相对原三小尺度的同 seed spread 增量均值分别为 0.038820083174、0.037024364093，95% 初始化 t 区间为 [0.038388275005,0.039251891344]、[0.036226459100,0.037822269085]。a≤0.05 的三个离散尺度通过；a=0.1 与新增 a=0.075 失败。没有测出连续临界尺度。

a=0.075 的两侧偏差仍相反。λ=−3 的 signed(Q/F−1)=0.028577815797–0.029189276970；λ=+3 为 −0.027422681666–−0.025956782989。相对保存 a=0.05 的同 seed Q 比值分别为 1.015699751579–1.016073982185、0.984675182961–0.985496235173。两侧四尺度 spread 均值为 0.028106256043、0.026576480382。相对原三小尺度的同 seed spread 增量均值为 0.016101492208、0.015269526034，95% 初始化 t 区间为 [0.015957798247,0.016245186168]、[0.014941249697,0.015597802371]。区间只描述固定数据下的六次初始化。

全部有效条件为 development（开发条件），未测封存 OOD（事先封存的分布外条件）。未测随机 bias、非对称输入、多层、可学习隐藏层（learned hidden）、CE（交叉熵）、小批量、其他数据或干预收益。总偶能量不等于目标相关核或训练收益；未进行特征或通路干预，未注册 MSE 终点排序。

方法与条件

普通 bias 与精确根的测量固定对称 Gaussian d=4、train128/test1024（训练/测试样本数）、data31001（数据随机种子）、width64、特征 seed101–106。条件还包括固定同单元 bias、冻结单层 SiLU、特征居中与统一 RMS、零初始线性 head（输出层）、MSE、full-batch GD（全批量梯度下降）η=0.8/mom0/nodecay/1024 步（无动量、无权重衰减）。bias=0/1/b* 与尺度 0.025/0.05/0.1/0.2 共 72 cell、144 条线性/二次目标轨迹，训练总计 3.548238 秒。谱递推（按核矩阵特征值递推预测）最大误差 1.64091e-13，阈值 1e-8；首 cell 独立 preactivation（激活前输入）、feature（激活特征）、核递推及终点误差分别为 8.88e-16、2.22e-16、7.99e-15、2.66e-15。保存数组全部有限。

近根网格仅作 216 个初始化测量 cell（9 bias×4 scale×6 seed，36 个条件），0 新训练。复用已保存 data31001 的 train128 输入和 seed101–106 权重，不使用标签或 test。固定输入、权重、居中方式与每个 seed，仅改变 bias 与尺度。每个 δ 的区间只描述固定数据下六次权重初始化；跨 108/216 格点的误差仅报描述统计，不能当作独立样本或总体置信区间。独立 NumPy 激活重建最大误差 3.552714e−15，18 个 δ=0 重叠 cell 与旧数组逐位相同，旧 72 个成功 cell 保留。

固定 λ 的有效验证为 6 个 λ×scale 条件、36 个新测量 cell、12 个同 seed/λ 三尺度配对，测量耗时 0.198246 秒、0 新训练。逐项核对三份历史 Cartesian（条件的笛卡尔积）合同与 378 保存请求，历史重叠为 0。只读取旧 train_x/W/u（训练输入、冻结权重与投影），不读标签或 test。先提交匹配预注册与全部 pinned（锁定版本的）源码/输入，再完成首 cell 审计并恢复 35 cell。恢复核验 new0/reused36（新增 0、复用 36），72 结果文件与 806 旧 study 文件 hash/mtime（内容哈希与修改时间）不变。独立激活重建最大误差 3.108624e−15，独立多项式导数与标量矩 F 相对差 8.015810e−14，fsum（高精度求和）复算 R/Q 相对差 4.440892e−16。

较大尺度只新增 2 个 λ×scale 条件、12 个 cell；六 seed 只测初始化稳健性，36 个旧对照只读保存数组。注册前核对四份完整历史条件网格与 414 个保存请求，新重叠为 0。唯一预注册和全部锁定源码/输入先提交，匹配后才激活；先核验首 cell 再恢复其余 11 个，累计测量 0.058717791 秒、0 新训练。旧 896 文件和新 24 结果文件 hash/mtime 不变；恢复 new0/reused12。新激活独立重建最大差 3.108624e−15，独立导数与矩 F 相对差 8.015810e−14，fsum 对新旧保存数组复算 R/Q 相对差 4.440892e−16。旧对照没有重新激活。

较大尺度预测来自已见结果，属于非盲 development。signed(Q/F−1) 的点预期只把保存 a=0.05 的偏差乘 4；事前绝对误差点范围为 0.046486298995–0.051631259199，没有拟合或预览新激活。预测 Q 的实际相对差为 0.000193522199–0.000984261413，仅作描述，未注册这一精度。固定 λ 的解析极限本身不登记为新发现，新增证据是同 seed 配对的有限精度边界。

新增 a=0.075 只测 2 个 λ×scale 条件、12 个 cell，旧 36 个小尺度对照只读保存数组。注册前核对五份完整历史 Cartesian 与 426 个保存请求，重叠为 0；保护 940 个旧 study 文件。唯一预注册与 11 份锁定源码、输入、审计先提交，全部激活开始时间至少晚于提交秒级时间 7.572792 秒。先核验首 cell 再新增 11 个；累计测量 0.060539250 秒，0 新训练。恢复 new0/reused12，24 个新结果文件及首 cell hash/mtime 保持不变。新激活独立重建最大差 3.108624e−15，独立 F 相对差 8.015810e−14，fsum 复算 R/Q 相对差 4.440892e−16；旧对照激活调用为 0。

新点预测只把已见 a=0.05 偏差乘 2.25，属于非盲 development；已知 a=0.1 结果，但未预览新激活。误差点范围为 0.026148543185–0.029042583299；每 seed 误差和 spread 容许范围均为各点 ±0.002，并要求两项 >0.02。Q 实际相对点预测差为 0.000048661925–0.000227437662，仅作描述。冻结执行脚本未强制要求首 cell 回执后才续跑；实际时间戳确认审计通过后才运行其余 11 个。下次新增测量需将此门槛写入源码。

v1 的独立既有证据限于对称零 bias、冻结单层与 MSE 对照。在 scale=0.05→0.2，R 增长 14.84–15.37 倍，接近 scale² 的 16 倍预测。统一总特征 RMS 后，小尺度二次目标核能量为 ReLU（整流线性激活）的 0.00617–0.01090 倍。这不改变总偶能量与目标相关核能量的区别。

失败与反例

旧 λ=−2/−1/0/1/2 的 90 cell 验证因重复测量 18 个旧成功条件而协议失效。原数值判定为两项 supported（满足原数值判据），只作失效归档。提交失败造成的未测量也不构成科学反驳。

原 2% 近似在 a=0.075 的两项判据也均为 0/12 通过；各逐 seed 新预测均通过。a=0.1 的失败必须保留：解析 F 误差与四尺度折叠均 0/12 通过。这是事前预测会发生的有限精度失败；两项新边界预测均通过，不能写成旧三个小尺度预测被反驳。

正侧增长没有全部超过 100。+0.001 的六个同 seed 增长比 −0.001 高 28.136243–125.024683，均值差 83.489843，95% 初始化 t 区间 [49.549244,117.430442]；5/6 正侧增长 >100，但 seed104 仅为 48.047861。近根测量的三项预测均通过，仍须保留该反例。

首轮因预注册提交失败而未测量，三项预测均未评估。此执行失败不是科学反驳。旧分析的 NumPy matmul（矩阵乘法）警告根因未定；记录保留，新数组均有限。首 cell 打印错误也保留。输出修正仅处理空统计打印，并删除无采样解释的 pooled CI（把不同格点混为样本的置信区间），不改变科学量或预测结论。

旧固定 λ=−2/−1/0/1/2、a=0.0125/0.025/0.05 的测量完成 90 cell，但 λ=0 的 18 cell 重新测量了已有成功条件，违反禁止重跑旧 cell 的要求，本次协议失效。旧五个 λ、六 seed 的 F_s=0.001187655620–0.090760955422；对应测量只作失效记录。原数值判定为两项 supported：30 同 seed/λ 配对的 max(Q)/min(Q)−1=0.000280769139–0.009006901047，90 cell 相对解析 F 最大误差 0.009519027722。这些数值仅作失效归档，不构成新验证。旧 599 文件与新 180 结果文件 hash/mtime 未变，18 个重叠数组逐位相同，0 新训练；一致性不消除协议偏差。

前置审计曾把偏移标签 d00 误当 δ=0，产生 AssertionError；依据合同的 bias_offsets 定位 d04 后才通过。错误发生在新测量前，原失败源码与记录保留，未改旧数据。

尚未回答的问题

a=0.075 已越过两项 2% 判据。下一候选只新增未测 a=0.0625、λ=−3/+3 的 12 个 cell；固定全部其他条件，仅读保存三个小尺度作对照，检验原两项 2% 判据是否均重新通过。先核查所有历史条件，再注册逐 seed 数值范围、来源 hash、输入与源码并单一提交；不预览新激活。新增源码应强制首 cell 审计门槛，并核查每 cell 激活开始时间。

现有结果不能确定连续临界尺度或 λ。随机 bias、非对称输入、多层、learned hidden、CE 或干预收益仍未测。

证据

• 新增尺度预注册（studies/r110_scale0075_boundary/preregistration.json）、逐 seed 非盲预测（studies/r110_scale0075_boundary/executed/numeric_forecasts.json）、只读对照（studies/r110_scale0075_boundary/executed/readonly_controls.json）、摘要（studies/r110_scale0075_boundary/summary.json）与findings（findings/r110_scale0075_boundary.md）：唯一冻结 51f9e89，12/12 新 cell，P1/P2 均 supported；两项原 2% 判据均 0/12 通过。

• 旧收尾审计（studies/r110_scale0075_boundary/executed/prior_closeout_audit.json）、历史条件审计（studies/r110_scale0075_boundary/executed/condition_audit.json）、首 cell（studies/r110_scale0075_boundary/executed/first_cell_audit.json）、独立与恢复核验（studies/r110_scale0075_boundary/executed/independent_verification.json）、开始时间审计（studies/r110_scale0075_boundary/executed/execution_audit.json）、独立审查（studies/r110_scale0075_boundary/executed/independent_review.json）与收尾回执（studies/r110_scale0075_boundary/executed/final_commit_verification.json）：五历史网格/426 请求零重叠，940 旧文件和 24 新结果文件保护；实际首 cell 审计早于其余激活。

• 较大尺度预注册（studies/r092_scale01_boundary/preregistration.json）、非盲逐 seed 数值预测（studies/r092_scale01_boundary/executed/numeric_forecasts.json）、只读原数组与合同对照（studies/r092_scale01_boundary/executed/readonly_controls.json）、摘要（studies/r092_scale01_boundary/summary.json）与findings（findings/r092_scale01_boundary.md）：唯一事前提交 c994793，新增12cell；边界预测均12/12支持，原两项2%判据均0/12通过。

• 较大尺度历史审计（studies/r092_scale01_boundary/executed/condition_audit.json）、旧收尾复核（studies/r092_scale01_boundary/executed/prior_closeout_audit.json）、首 cell 审计（studies/r092_scale01_boundary/executed/first_cell_audit.json）、独立与恢复核验（studies/r092_scale01_boundary/executed/independent_verification.json）及本轮收尾核验（studies/r092_scale01_boundary/executed/final_commit_verification.json）：四历史网格/414请求零重叠，896旧文件和24新结果保护通过，旧对照激活调用0。

• 有效固定 λ 预注册（studies/r080_lambda_outer_collapse/preregistration.json）、解析旧矩预报（studies/r080_lambda_outer_collapse/executed/analytic_forecasts.json）、摘要（studies/r080_lambda_outer_collapse/summary.json）与findings（findings/r080_lambda_outer_collapse.md）：事前匹配提交 e3239cd，36/36新条件，P1/P2 supported。

• 历史条件与 Cartesian 审计（studies/r080_lambda_outer_collapse/executed/condition_audit.json）、旧失效收尾审计（studies/r080_lambda_outer_collapse/executed/prior_closeout_audit.json）、首 cell审计（studies/r080_lambda_outer_collapse/executed/first_cell_audit.json）与独立/恢复核验（studies/r080_lambda_outer_collapse/executed/independent_verification.json）：旧599与失效study180结果hash/mtime匹配，806旧study文件及72新结果文件保留。
• 有效验证的收尾提交核验（studies/r080_lambda_outer_collapse/executed/final_commit_verification.json）：全部科学产物的提交字节、旧806文件与新72结果文件保护及状态更新范围均通过。
• 固定 λ 的协议失败及交接（findings/r048_lambda_collapse.md）、失效记录（studies/r048_lambda_collapse/executed/round_invalidation.json）、原数值摘要（studies/r048_lambda_collapse/summary.json）：预注册与 pinned 源码提交 9fe16e6 先于90个测量；因18个旧成功条件重复测量而失效，0新增科学claim。

• 固定 λ 的旧收尾审计（studies/r048_lambda_collapse/executed/prior_closeout_audit.json）、独立与恢复核验（studies/r048_lambda_collapse/executed/independent_verification.json）：旧599文件与新180结果hash/mtime未改，原计算和协议偏差分别保留。

• 原始提交失败与零训练记录（findings/r008_bias_inflection.md）：预注册与收尾均无法写 .git/index.lock，0/72 cell、P1–P3 未评估，未登记科学 claim；只用函数公式核验根与导数 f′(b*)=1.0998393201288668、f″(b*)≈−3.39e−17、f⁗(b*)=.15259173097310152。

• 恢复测量（findings/r016_bias_inflection_resume.md）、全量 summary（studies/r008_bias_inflection/summary.json）：训练前匹配预注册与 pinned 源码提交 d4c63f8；72/72 cell 完成，科学收尾提交 3ad423e，首 cell 成功结果未覆盖。
• 首 cell 独立核验（studies/r008_bias_inflection/executed/r016_first_cell_independent_check.json）、恢复收据（studies/r008_bias_inflection/executed/r016_resume_commit_receipt.json）与纯函数解析核验（studies/r008_bias_inflection/executed/analytic_design.json）。
• v1 只读背景：science_program_v1/studies/C01_activation_scale/report.md。
• 近根预注册（studies/r024_near_root_crossover/preregistration.json）、分析摘要（studies/r024_near_root_crossover/summary.json）与近根 findings（findings/r024_near_root_crossover.md）：初始预注册 406cfe1；完整 grid 审计修订与源码匹配提交 22ebe0c 早于全部新测量。
• 独立标量复算（studies/r024_near_root_crossover/executed/independent_verification.json）、恢复防覆盖核验（studies/r024_near_root_crossover/executed/resume_verification.json）、旧收尾审计（studies/r024_near_root_crossover/executed/r016_closeout_audit.json）。
• 首 cell 审计及输出错误（studies/r024_near_root_crossover/executed/first_cell_audit.json）、分析输出修正源码（studies/r024_near_root_crossover/executed/run_analysis.py）：保留原 pinned analysis.py；修正只处理空统计打印和删除无采样解释的 pooled CI，不改变科学量或预测结论。