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D12：双段 sigmoid 近似的效果与局限

结论

两段曲线能改善部分条件下的近似，但不是单段 sigmoid 的普适替代式。实验使用固定特征，把训练误差分成下降较快和较慢的两个分量，再用两段对数时间上的 S 形下降曲线加权描述。直接由各分量的衰减速度计算参数、不再拟合时，慢分量初始损失占比 α=0.5 的八个谱比格点通过；在快慢特征值之比 r=100 时，α=0.25 失败，α=0.75 通过。“通过”要求均方根误差≤0.03且最大误差≤0.05。结果限于全批量更新、学习率 η=0.1、n=d=2、原150点网格与平台1/0，没有证明训练中学习特征的网络会出现延迟跃迁。

不再拟合的参数公式为 h_i=log2/[-2log(1−ηλ_i)]、b=2log2，双段候选为 C(t)=α/[1+(t/h_s)^b]+(1−α)/[1+(t/h_f)^b]。t 与 h 是更新步数和半幅度时间；λ 是模态特征值，η 是学习率，b 是对数时间陡度，α 是初始慢损失占比。这些参数通过匹配各分量在半幅度处的数值与斜率得到；局部匹配不保证整条曲线都足够准确。

快慢分量的初始损失不等时，精确损失曲线与所检验的双段近似分别为：

\[f_\alpha(t)=\alpha e^{-a_st}+(1-\alpha)e^{-a_ft},\qquad C_\alpha(t)=\alpha H(t;\log2/a_s,2\log2)+(1-\alpha)H(t;\log2/a_f,2\log2).\]

α=L_s(0)/L(0) 是无量纲慢模态初始损失占比，从保存的模态损失权重取得。它不是参数、特征或梯度能量占比。f_α 是精确归一化损失，C_α 是加权候选，均无量纲。h/b 仍按上式固定，幅度不从曲线拟合。α=0.5 还原等权候选。加权评价覆盖 α=0.25/0.75、r=100，hs/hf=346.400275/3.289407 步，平台 1/0。

以下结论限于固定特征的双模态系统。模态指沿特征 Gram 矩阵（特征内积矩阵）的特征向量分解的误差分量。共同条件为 n=d=2（样本数与参数维度均为 2）、float64（64 位浮点数）、half-MSE（均方误差的一半）、全批量 SGD（随机梯度下降，此处每步使用全部样本）。学习率 η=0.1，momentum=0（无动量），无 weight decay（权重衰减）。慢特征值 λs=0.01，初始总损失 L0=1，平台固定为 1/0（曲线起点为 1、终点为 0）。评价使用原 150 点整数对数网格，各点等权。通过要求 RMSE（均方根误差）≤0.03 且最大误差≤0.05。

等初始损失的单段 logistic（在对数时间上呈 S 形的下降曲线）在谱比 r=12/15 通过，在 r=20/25 失败。谱比是快、慢特征值之比。两模态初始损失各为 0.5。单段判定只在 15 与 20 两个格点之间改变，尚未得到连续临界值。

等权双 logistic 拟合在 r=12/15/20/25 四个已测谱比均通过。RMSE=0.013446–0.015873，最大误差=0.021608–0.031214。双段在四个条件均比单段拟合更准确。单段失败的两个条件经双段拟合后同时通过两项阈值。三个坐标 seed（仅改变坐标旋转的随机种子）的判定完全一致。

无拟合双段公式在八个已保存离散谱比格点均通过。r=20/25 的 RMSE=0.027321–0.027379，最大误差=0.049278–0.049362。r=30/100 为 0.027332780/0.023997468 和 0.048985027/0.041835390。r=12/15 为 0.026944511/0.027124624 和 0.046273237/0.048101969。r=3/10 为 0.029596700/0.026834317 和 0.048893158/0.044183836。各组中的谱比与误差值按相同顺序对应。该公式只验证了这八个离散格点。

相同条件下，等权通过不能直接推广到慢初始损失占比 α=0.25。在 r=100、α=0.25 时，加权双段公式的 RMSE=0.022740946≤0.03，但最大误差=0.053989623>0.05。三个坐标 seed 均未同时通过。保持 h/b（各段半幅度时间与对数时间陡度）公式、只按保存的初始损失改变幅度后，谱比相同仍不足以保证通过。α=0.5 的原通过结果保留。

慢损失占比 α=0.75 时，同一公式的 RMSE=0.027824997、最大误差=0.049822548，三个坐标 seed 均同时通过。最大误差距阈值仅0.000177452。预先预测“RMSE≤0.03但最大误差>0.05”失败，最大误差区间[0.050,0.060]也失败；两个预测均由3/3评价单元推翻。仅改变保存的初始损失幅度就得到与 α=0.25 不同的判定。两个不等权格点不确定连续 α 临界值。

“接近纯模态即可通过”的旧预测失败。在同一固定特征、全批量 SGD recipe（实验条件组合）下，固定 r=100、慢损失占比为 0.01 时，原单段拟合最大误差为 0.06476095。纯快模态为 0.07462910。两者均超过 0.05。r=3/10/12 的双段公式两项误差均高于原单段拟合，也保留为“多段公式总更好”这一未注册泛化说法的反例。

公式与符号

固定特征、等初始模态损失的损失曲线可由已知递推精确给出：

\[f(t)=\tfrac12e^{-a_st}+\tfrac12e^{-a_ft},\quad a_i=-2\log(1-\eta\lambda_i).\]

本方向评价的是以下双段描述候选与无拟合参数公式：

\[H(t;h,b)=\frac{1}{1+(t/h)^b},\quad C(t)=\tfrac12H(t;h_f,b_f)+\tfrac12H(t;h_s,b_s),\quad H(0)=C(0)=1.\]

\[C_{\mathrm{formula}}(t)=\tfrac12H(t;\log2/a_f,2\log2)+\tfrac12H(t;\log2/a_s,2\log2).\]

式中 t 是 SGD 更新步数，单位为步。L(t) 是第 t 步损失。f=L(t)/L(0) 是无量纲归一化损失，L(0)=1。下标 s/f 分别指慢/快模态。i 指任一模态。λs=0.01、λf=rλs 是特征 Gram 矩阵的慢/快特征值，单位为损失/参数²。η=0.1 是学习率，单位为参数²/损失。a 是衰减率，单位为步⁻¹。r 是无量纲特征值比。log 表示自然对数。

h 是各段达到自身半幅度的时间，单位为步。b 是对数时间上的下降陡度，无量纲。H 是单段候选，C 是等权双段候选，C_formula 是无拟合公式，三者均为无量纲归一化损失。拟合候选的 f/s 标签只按 h 排序，尚未证明与模态一一对应。公式候选直接使用谱模态标签。精确时间尺度比为 ρ=af/as，无量纲，不等于 r。

公式候选的 hs=346.400275 步，r=3/10/12/15/20/25/30/100 的 hf=115.351157/34.483782/28.707497/22.931183/17.154809/13.688926/11.378287/3.289407 步，两段 b=1.386294361。系数未做校准。指数模态在 h=log2/a 处的值为 0.5，对 log(t) 的导数为 −log2/2。H 的相应导数为 −b/4，因此局部匹配给出 b=2log2。该推导是已知解析工具。全窗口是否通过误差阈值须实测。

结果与适用范围

逐模态公式的通过范围是八个保存格点。条件为固定特征、等初始模态损失、η=0.1、原 150 点等权网格和 0.03/0.05 误差阈值。公式已在 r=3、10、12、15、20、25、30、100 八个已保存谱比格点通过。最小 RMSE 余量为 0.000403300，最小最大误差余量为 0.000638477。已知等谱比单模态局部公式最大误差 0.066366348 超过 0.05，不支持连续区间外推。

r（精确时间尺度比 ρ） 单段 RMSE / 最大误差 双段 RMSE / 最大误差 单段 / 双段判定
12（12.066544） 0.023814155 / 0.043068416 0.013446197 / 0.021608008 通过 / 通过
15（15.106080） 0.027550353 / 0.047113104 0.014443557 / 0.023326472 通过 / 通过
20（20.192604） 0.032733550 / 0.052902145 0.015393052 / 0.027931425 失败 / 通过
25（25.305147） 0.036884144 / 0.057676571 0.015872609 / 0.031213787 失败 / 通过

同 seed 的双段减单段 RMSE 为 −0.021011535 至 −0.010367958，最大误差差值为 −0.026462785 至 −0.021460408。两种候选分别有 2 和 4 个自由参数，因而这些结果支持双段在该窗口内的描述能力。参数数量与表观阶段解释尚未分离。

无拟合公式在 r=20/25 各三个坐标 seed 全部通过原阈值。两个条件的 RMSE 为 0.027321401/0.027379024，最大误差为 0.049278117/0.049361523，最大残差分别在 77/62 步。最大误差距 0.05 上限仅 0.000721883/0.000638477。同 seed 配对差值（公式误差减双段拟合误差）的 RMSE 为 +0.011506414 至 +0.011928350，最大误差差值为 +0.018147737 至 +0.021346692。公式的误差更大。跨坐标 seed 的指标差异≤1.45×10⁻¹⁵，仅表示数值稳健性，不是独立数据重复。

同一公式在保存 r=30/100 曲线上各三个坐标 seed 也全部通过，最大残差分别在 55/16 步。最大误差通过余量为 0.001014973/0.008164610，指标跨 seed 差≤1.23×10⁻¹⁵。同 seed 公式减原单段拟合的 RMSE 为 −0.012955518/−0.036287719，最大误差为 −0.012677046/−0.043733193。这同时改变段数与参数取得方式，不能单独归因于两阶段。没有新增这两个条件的双段拟合，也没有独立检验“谱分离减少近尾部近似误差重叠”的解释。

拟合中点未被证明等于真实模态半衰期。拟合的快 h 随谱比增加而下降，慢 h 保持在 298.26–307.75 步，与不同衰减速率叠加兼容。无拟合公式的慢半衰期为 346.40 步，并不等于这些拟合中点。匹配模态局部值与斜率能通过该双模态窗口，但不证明自由拟合识别了真实参数。真实正权双指数在原时间轴严格凸（斜率随时间递增），这是解析性质。对数时间上的双段近似不能作为原时间轴 S 形或延迟泛化证据。

同一无拟合公式在 r=12/15 各三个坐标 seed 也全部通过，最大残差在 113/95 步，最大误差余量 0.003726763/0.001898031，指标跨 seed 差≤1.34×10⁻¹⁵。同 seed 公式减双段拟合的 RMSE 为 +0.013498314/+0.012681067，最大误差差为 +0.024665229/+0.024775497。固定段数和幅度后，局部参数仍比全窗口拟合误差大。相对原单段拟合，r12 的两项误差都更大，差值 +0.003130356/+0.003204821。r15 的 RMSE 更小 0.000425729，但最大误差更大 0.000988865。公式通过描述阈值，并不表示双段公式普遍优于单段拟合。

与单段的对照同时改变段数和参数取得方式。

同一无拟合公式在 r=3/10 各三个坐标 seed 全部通过，误差区间预测也通过。r3 的 RMSE/maxabs（最大绝对误差）为 0.029596700/0.048893158，通过余量 0.000403300/0.001106842。r10 为 0.026834317/0.044183836，余量 0.003165683/0.005816164。最大残差分别在 1126/134 步，跨 seed 指标差异≤7.22×10⁻¹⁶。同 seed 公式减原单段拟合的 RMSE 为 +0.009717349/+0.005745297，maxabs 为 +0.014861620/+0.004038826。原单段在这两条件更准确。

固定局部参数通过描述阈值，不意味着其优于全窗口拟合。两者同时改变段数和参数取得方式。残差位置改变兼容不同近似误差叠加，但该解释未被独立检验。

加权候选未同时通过两项阈值。在 r=100、α=0.25 的一个 recipe×三个坐标 seed 上，RMSE 范围 [0.02274094575736451,0.022740945757364902]，最大误差范围 [0.053989622779292756,0.05398962277929331]。RMSE 余量 0.007259054，最大误差超出阈值 0.003989623，最大残差均在第15步，跨 seed 指标差≤5.56×10⁻¹⁶。三个 cell（单个条件与种子组成的评价单元）的两项阈值同时通过率为 0/3。

注册的“RMSE≤0.03但maxabs>0.05”以及 [0.020,0.030]/[0.050,0.060] 两项预测均通过，区间为 development（可迭代的开发条件）数值预测，非统计置信区间。同 seed 加权公式减原单段最小二乘（最小化残差平方和的拟合）的 RMSE 为 −0.018165507，最大误差差值为 −0.120347184 至 −0.120347183。原单段 RMSE/maxabs=0.040906452/0.174336806。两项误差虽降低，加权公式仍未达到描述阈值。段数与参数取得方式同时改变，不能独立归因。该反例不定位连续 α 临界值，也不改变等权八个格点的原判定。

同一加权候选在 r=100、α=0.75 的一个 recipe×三个坐标 seed 上同时通过，3/3。RMSE范围[0.027824996906011187,0.027824996906011888]，最大误差范围[0.04982254827281055,0.04982254827281068]。RMSE余量0.002175003，最大误差余量0.000177452；最大残差均在第1583步。跨坐标seed的指标差≤7.01×10⁻¹⁶，只反映坐标数值稳健性。

两项注册预测均被推翻。RMSE落入[0.025,0.035]且低于0.03；最大误差却低于预测区间[0.050,0.060]下界0.000177452，也未达到预测的>0.05。原区间是development数值预测，不是置信区间。保留原区间与全部三个反例，不按结果修改阈值或公式。

同seed公式减原单段最小二乘误差的RMSE范围为[−0.04191871668915578,−0.04191871668915522]，最大误差范围为[−0.06492670954636501,−0.06492670931944299]。原单段RMSE/maxabs=0.069743714/0.114749258。该对照同时改变段数和参数取得方式，不独立归因于阶段数或机制。α=0.25与0.75只改变初始损失分配；目标参数、初始梯度也随分配改变，不据此识别独立动力学机制。

方法与条件

等权双 logistic 的系数来自各谱比独立的最小二乘拟合，不是从谱量预测参数的公式。表内数值取 seed0。三个坐标 seed 的 h 差异≤6.2×10⁻⁷ 步，b 差异≤1.0×10⁻⁸。该范围仅反映数值稳健性。

r hf（步） bf hs（步） bs
12 25.318356 1.495213 298.262351 1.449434
15 20.408256 1.555867 301.824567 1.435652
20 15.475819 1.629854 305.512895 1.426202
25 12.483841 1.683749 307.750759 1.423160

4 个谱条件×3 个旋转坐标 seed=12 个 cell，科学条件数为 4。seed0/1/2 用同一种 QR 旋转（由矩阵分解生成的正交坐标变换）构造，只检查坐标数值稳健性，不给统计置信区间。每个 cell 保存 X（特征矩阵）、y（目标）、θ*（目标参数）、旋转矩阵、初始误差及完整 0–10000 步的损失和模态误差。改变 λf 时调整 θ*，以固定各模态初始损失。参数范数和初始梯度未固定。

沿用原执行器及原网格：201 点 geomspace（等比取样）经 rint（四舍五入取整）去重并加 0，共 150 点、终点 4997，各点等权，平台固定 1/0。双段幅度各 0.5 固定。单段 6 起点、双段 36 起点，SciPy least_squares（最小二乘求解器）取成功解中 SSE（残差平方和）最小者。h∈[0.01,100000]、b∈[0.1,10]，ftol/xtol/gtol（目标值、参数与梯度的停止容差）=10⁻¹²，最多 2000 次函数调用。504/504 起点成功。多起点局部优化没有全局最优保证。

预注册与两份执行/分析源码同提交冻结，早于全部训练。完整曲线与解析递推的误差≤1.67×10⁻¹⁵。独立坐标递推误差≤3.34×10⁻¹⁶。拟合误差复算差异≤2.78×10⁻¹⁷。恢复未新训练、未重新拟合，36 个结果文件 hash（内容指纹）与修改时间不变。训练调用累计约 0.39 秒，首次拟合约 0.53 秒，均为本机 CPU（中央处理器）计算。

无拟合公式评估复用其中 r=20/25 的 6 条成功曲线，共 2 个 recipe 条件×3 个坐标 seed。0 新训练、0 新拟合。预测明确规定六个 cell 均同时通过 0.03/0.05，预注册、23 个输入 hash 与三份执行/分析/核验源码同提交冻结后才评估，首次评估 0.082148 秒。独立标量计算与向量曲线最大差 2.22×10⁻¹⁶，指标差≤6.94×10⁻¹⁸。旧研究 55 个文件和新成功结果 12 个文件 hash/mtime（内容指纹/修改时间）均不变。配对固定同一曲线、原网格、平台、幅度与误差判据，只改变参数取得方式。不为坐标 seed 计算统计置信区间。

大谱比评估仅读 D4 已保存 r=30/100 的 6 条成功曲线，共 2 个 recipe 条件×3 个坐标 seed。0 新训练、0 新拟合。预注册、21 个输入 hash 和三份源码同提交冻结后才评估，首次评估 0.068657375 秒。独立标量公式与向量曲线差≤1.67×10⁻¹⁶，指标差≤1.11×10⁻¹⁶，保存曲线与直接幂递推差≤1.39×10⁻¹⁵。历史 130 个文件与新结果 12 个文件 hash/mtime 均不变。原单段拟合是同曲线描述性对照。同时改变段数和参数取得方式，不作独立机制归因。

低谱比评估仅读已保存 r=12/15 的 6 条成功曲线，共 2 个 recipe×3 个坐标 seed。0 新训练、0 新拟合。预注册、31 个输入 hash 与三份源码同提交冻结后才评估，首次评估 0.069202042 秒。独立标量曲线差≤2.22×10⁻¹⁶、指标差≤5.56×10⁻¹⁷、保存曲线与直接幂递推差≤1.78×10⁻¹⁵。恢复只加载成功 cell，12 个新结果与 229 个历史文件 hash/mtime 不变。对双段拟合的配对固定段数、平台、幅度和网格，只改变参数取得方式。不将坐标 seed 当独立数据重复。

更低谱比评价仅读保存 r=3/10 的 6 条曲线，共 2 个 recipe×3 个坐标 seed。0 新训练/拟合。预注册、30 个输入 hash 与四份源码同提交冻结后才评价，首次 0.085975625 秒。同一旧网格、平台、幅度和 h/b，不重评已成功公式 cell。四份历史收尾回执 59/29/29/30 项提交 blob（Git 保存的文件内容对象）的 hash 匹配，原 229 文件及扩展后的 256 文件 hash/mtime 通过。独立标量曲线差≤3.34×10⁻¹⁶、指标差≤4.17×10⁻¹⁷、直接幂递推与保存曲线差≤1.34×10⁻¹⁵。恢复只加载六个成功 cell，12 个新结果与 256 个历史文件 hash/mtime 不变。

误差区间是未校准 development 预测，不是统计置信区间。

加权评价只读取已保存 r=100、α=0.25 的三条曲线，共 1 个 recipe×3 个坐标 seed。0 新训练、0 新拟合。仅由保存的 mode_weights（初始模态损失权重）取慢/快幅度 0.25/0.75，初始逐模态损失独立核验一致。保持原 h/b、150 点等权网格、平台与 0.03/0.05。

预注册、19 个输入 hash 和四份源码同提交冻结后才开展加权评价。冻结早于全部 cell 完成至少 27.756991 秒。首次执行 0.149907375 秒，包含合同与历史 hash 核验。五份历史收尾回执的 59/29/29/30/31 项提交 blob 全部匹配，283 个历史文件 hash/mtime 不变。

加权评价的独立标量曲线差≤1.11×10⁻¹⁶，逐模态差≤3.34×10⁻¹⁶，指标差≤3.47×10⁻¹⁸，保存曲线与直接幂递推差≤8.89×10⁻¹⁶。恢复只读取 3 个成功 cell，6 个新结果文件 hash/mtime 不变。原单段 LS（最小二乘拟合）仅作同曲线描述性对照，不新增拟合，不把坐标 seed 当独立重复。

慢损失占比0.75的评价只读取保存的三条成功曲线，1个recipe×3个坐标seed，0新训练/拟合。幅度仅从保存初始模态损失权重取得。20个输入hash与5份源码同提交冻结；冻结早于全部新公式计算开始至少45.608635秒。首次执行0.291165秒，含合同与历史文件核验。六份历史收尾回执的59/29/29/30/31/27个提交blob均匹配，305个历史文件及81份旧成功cell合同核验通过。

新条件独立标量复算的曲线差≤2.23×10⁻¹⁶、逐模态差≤3.34×10⁻¹⁶、指标差≤3.47×10⁻¹⁸；保存损失与直接幂递推差≤2.00×10⁻¹⁵。初始逐模态损失核验保存权重一致。恢复只加载三个成功cell，新增评价0，六个新结果文件及305个历史文件hash/mtime不变。成功cell独占创建，混合冻结提交、冲突hash、额外或孤立结果均拒绝。

失败与反例

单段在 r=20/25 的两项误差均超阈值，是保留的模型反例。原单/双段拟合的三项科学预测及四次无拟合公式的数值预测均通过。本次慢损失占比0.75的两项预测失败，详见下文。无拟合公式已测格点的最小 RMSE/maxabs 通过余量分别为 0.000403300/0.000638477，不支持未测谱比或其他网格也通过。已有等谱比单模态局部公式 RMSE=0.033349760、最大误差=0.066366348 的反例保留，未重新计算或改判。单模态局部匹配不保证单段全窗口通过。r3/10/12 的双段公式两项误差均高于原单段拟合，是“多段公式总更好”这一未注册泛化说法的反例。

“接近纯模态即可通过”的预测已失败。固定 r=100 后，慢损失占比 0.01 的最大误差为 0.06476095。纯快模态最大误差为 0.07462910，两者均失败。已有等权双模态证据显示单段在 r=1/3/10 通过、30/100 失败。因此不能仅用谱比判断拟合能力，也不能把单段不足全归因于两阶段分离。上述旧结果仅作边界背景，未重新训练或改变。

固定局部 h/b 的加权双段候选在 α=0.25、r=100 的最大误差 0.053989623 是新增描述反例。该候选的不足在注册前已被预测，两项注册预测均通过，不能把候选未通过称为预测失败。没有调整幅度、h/b、阈值或窗口来消除反例。没有重算或改判旧 r=1、纯快与 α=0.01 原最小二乘失败。

“α=0.75仍因最大误差>0.05失败”的注册预测被推翻，3/3反例。最大误差0.049822548低于[0.050,0.060]下界，数值区间预测也被推翻。候选通过与预测失败同时成立。没有调整h/b、幅度取得方式、网格、平台或判据。α=0.25的失败仍保留，不将这两个不等权条件的差异推成连续、单调或唯一临界。

尚未回答的问题

下一步仅复用保存 r=100、慢初始损失占比 α=0.9 的三条曲线，检验同一加权候选是否同时通过0.03/0.05。保持h_i=log2/[-2log(1−ηλ_i)]、b=2log2、原150点等权网格与平台1/0，仅按保存初始损失取幅度。先注册明确新数值区间、输入hash与版本固定源码，提交后才评价。0新训练/拟合，不重评成功cell，不预先计算α=0.9误差后称盲预测。α=0.25反例、α=0.75通过与本次失败预测、八个等权离散通过格点及旧纯快/α=0.01原最小二乘失败均保留。全部仍为development；不外推连续阈值或独立机制。

15–20 之间更细格点、拟合目标影响、段参数可辨认性（曲线能否唯一确定段参数）、三模态段数、momentum、小批量、learned features（训练中改变的特征）、test（测试集）和封存 OOD（预先封存的分布外条件）尚未测量。

证据

同步于 2026-10-08 19:23（北京时间）· 本页为研究快照，网页在 prototype 仓库内维护