# 知识体系的价格：定义（原型稿）

2026-10-30，同日按用户决定修订。数字全部来自 [`scripts/kbp_compute.py`](scripts/kbp_compute.py)，可视化见 [`kb_price.html`](kb_price.html)，实例与不足见 [`KB_price_report.md`](KB_price_report.md)。

来源标记：

- **【用户】**：用户定的。来源有四处：2026-10-30 的讨论；同日对四条建议的决定（“按建议定”）；同日对标准读数与代表成员的决定（“改用族级读法”）；[SAI 定义](../SAI_definition.md) 中标为“用户原意”的部分。
- **【定义稿】**：SAI 定义里已有的操作化。
- **【本文提出】**：本原型新提出的，最需要讨论。

## 0. 一句话

**【本文提出】知识体系本身也是一个答案规则。** 一个体系由多条知识和一条合成规则 σ 组成，它对每个条件给出答案或不作答。所以体系的价格沿用单条主张的算法：同一份合同、同样的三轴 (e, c, u) 和 ρ\*，不需要新的价格概念。

**【用户】计价单位是族，不是单条 KB 条目。** 只差参数的引理属于同一族；族内的取舍是前沿上的位置，不是不同的知识，也不是知识之间的相互作用。

**【用户】** 不合成单一标量价格。比较用帕累托支配，或固定一轴、比另外两轴。

## 1. 对象

### 1.1 合同

**【定义稿】** 合同 C = (Ω, μ, ℓ, ε)，坐标只在同一份合同下可比。

**【用户】** 本原型有两份合同，分开报，不合成：

| 合同 | Ω | 给谁定价 |
|---|---|---|
| 整题合同 | ArchitectureIQ v1.5 主榜 500 题（优化器题 168、架构题 170、混合题 162）；每题是一个数据集实例、3 个候选配置和训练预算 | 体系 |
| 成对合同 | 这 500 题里的 1500 个候选对；其中 1380 对的胜负超过 2 个标准误 | 单条成对主张（只说 a 是否胜 b） |

两份合同的其余部分相同：μ 均匀；选错记 1，ε = 0；真值取 10 个种子均值下的胜者。

### 1.2 主张与引理

一条知识写成 (M_k, D_k, c_k)：答案规则、声明域、代价【定义稿】。

**【本文提出】** 本原型把每条 KB 主张写成读结构化配置的程序，称为引理。对每个候选对 (a, b)，引理输出四种结果之一：“a 胜”、“b 胜”、“禁止下结论”、“不适用”。

一个 KB 条目里含几条主张时，拆开计算，例如 K1012 拆成 K1012a、K1012b【定义稿：计量单位是主张】。

### 1.3 族

**【用户】** 只差参数的引理归为同一族。文本主张写成可执行引理时，必须补上文本没给的阈值；这些阈值改变正确率和覆盖率。不同阈值之间的取舍，必须当作同一族内的不同位置来看。

**【本文提出】** 操作化：

- **划分规则**：同一机制、同一预测方向，只在参数上不同。参数包括阈值、适用范围、校准和代理量。KB 自带的合并与引用记录（`merged_from`、`refines`、原文点名）作为初分。
- **本原型的划分**：35 条主张归为 10 族，其中 8 族在本合同上有声明域。位移族有 25 条（20 条有效），K1001 是它的默认成员。K1019（校准）、K1012a（扩到异构对）、K1012b（margin）、K1071 与 K1072（饱和上限）、K1004（范围排除），以及并入 K1001 的 14 条，都是位移族的成员，各自设定一个参数。
- **边界情形**：K0009、K0010 用名义学习率代替 Δ；K1071 在饱和带以上把胜负方向反过来。两者都归入位移族，代理量和饱和带都是族的参数【用户】。K1071 归入位移族已随用户的决定确认；K0009、K0010 由用户单独确认（2026-10-30，“算作位移族”）。

### 1.4 知识体系

**【本文提出】** 知识体系 K = (S, σ)。S 是条目集合，σ 是合成规则，由三部分组成。

**(a) 选择规则：同一候选对上几条都说话时，听谁的。** 选择规则有两层：

- 族内听哪个成员，是族的参数，体现为前沿上的位置；
- 族与族之间听谁的，才是体系层面的选择。

本原型比较了五种：具体者优先、置信度优先、多数表决、全体一致才作答、神谕（只作上界）。

**(b) 合成。** 成对结论按传递性闭合，能胜过其他所有候选的那个就是答案；出现循环或没人胜出时，体系不作答。

**(c) 回退（可选）。** 体系不作答的题，交给另一条答案规则：截断试探 ρ_f，或一个闭卷模型。

**【用户】** 边际作用按体系的合法推理闭包计。本原型用 (b) 把闭包操作化，这是闭包的一个下界：只用了“胜负关系可传递”这一条推理，没有做主张之间的符号推导。

## 2. 价格

### 2.1 三轴与 ρ\*

三轴由【用户】定，单条主张的公式来自【定义稿】，本文把它们原样用于族和体系：

- u = μ(Ω \ D)；
- e = μ({ω ∈ D : 答错}) / μ(D)；
- c = E_μ[c(ω) | D]。

**【本文提出】** 单题代价是实际调用的条目代价之和，截断到 1；嵌套的截断试探取最大值。规则 c = 0；回退到截断试探的题 c = ρ_f；闭卷模型的推理开销按惯例记 0。

**【用户】** 截断基线是同一个实验只跑一部分；ρ\* 在声明域上算：ρ\* = min{ρ : acc_trunc(ρ; D) ≥ 1 − e}。

**【定义稿 / 沿用已有面板口径】** ρ 取 0.5% 网格，取首次追平点。本原型复现了已有数字：ρ = 10% 时选对 79.4%。

**【本文提出】** 在成对合同上，截断试探取两者中当前领先者；10% 预算时成对准确率 81.4%。

### 2.2 族的价格是前沿

**【用户】** 族的价格只报它在参数 θ 上的前沿 {(e(θ), u(θ), ρ\*(θ))}，不指定代表成员。需要单个数时，固定一轴来读另一轴。

**【本文提出】** 操作化：

- 前沿在同一份合同上算。KB 实际用的配置是前沿上的点。
- 参数空间写不全，例如通用参数扫不出 K1071 按任务族定的饱和带。所以前沿取在“参数扫描成员 ∪ KB 配置”的并集上。
- 扫描也没有代理量这一维。K0009、K0010 只通过 KB 配置进入前沿：“qwen 合并前（13 条）”和“位移族全部（20 条）”含它们，后者在整题合同的前沿上；成对合同的前沿上没有含它们的配置。
- 固定一轴的读数，例如位移族：

  | 固定的轴 | 读数 |
  |---|---|
  | e ≤ 5% | 最多答 202 题 |
  | e ≤ 10% | 最多答 236 题 |
  | 作答 ≥ 230 题 | e 最低 9.1% |

- 在合同上挑 θ 属于拟合【定义稿 §2.5】，读数要注明样本内偏差。两折交叉验证（20 次随机划分，共 40 折）下，按误差最小挑成员时，样本内误差平均比留出部分低 1.8 点（标准差 3.0）。讨论阶段报过 0.9 点（标准差 3.3），那次扫描少了“扩到异构对”这个参数。

### 2.3 作答质量与误差质量

**【本文提出】**

- 作答质量 A = 1 − u；
- 误差质量 E = (1 − u)·e。

两者在不相交的声明域上可加，所以交互效应用它们来算。报告的坐标仍然是 e 和 u。

### 2.4 补全

**【定义稿 §2.4 的推广，本文提出】** 回退到截断试探 ρ_f 后：

```
e' = (1 − u)·e + u·e_trunc(ρ_f; Ω \ D)
c' = (1 − u)·c + u·ρ_f
u' = 0
```

定义稿的公式是 ρ_f = 1（回退到直接训练）的特例。回退到闭卷模型 m 时，e' = (1 − u)·e + u·e_m(Ω \ D)，c' 按惯例记 0。

## 3. 相互作用

### 3.1 族内不是相互作用

**【用户】** 同一族成员之间的差别，是参数取值的差别，体现在族的前沿上，不计作知识之间的相互作用。

原型第一版里的几种“相互作用”因此改为族内参数：

| 原型第一版的说法 | 现在的归类 |
|---|---|
| “冲突”：K1071 推翻 K1001 | 饱和带参数 |
| “否决”：K1012b 挡住 K1001 | margin 参数 |
| “前提链”：K1019 校准 K1001 | 校准参数 |
| “冗余”：K0019 与 K1001 | 范围参数 |

### 3.2 跨族关系

种类由【用户】列出，可计算形式由【本文提出】。对族 i、j，在同一合同上按输出粒度（候选对）计算：

- **重叠**：两族都说话的候选对。
- **一致与冲突**：重叠上答案相同为一致，不同为冲突。冲突再分：i 对、j 对、都错。
- **互补**：两族从不在同一题说话。
- **冗余**：
  - 逻辑冗余【用户：可推导的主张边际作用为 0】：在任何合同上边际作用都是 0。
  - 经验冗余【本文提出】：在本合同上，其余族合成后给出同样的结论。只保证本合同上边际作用为 0。本原型只测了经验冗余。
- **组合**：
  - 合取：i 决定 (a, b)，j 决定 (a, c)，合起来答出 a。
  - 传递：a ≻ b 来自 i，b ≻ c 来自 j，推出 a ≻ c。
  - 前提链：j 的结论要用 i 提供的量。

**【用户】** 推理核心的规则在组合处可以逐条检验，族内、跨族都适用：

1. 结论只声明在所有前提都适用的地方。
2. 误差界由前提误差相加。
3. 前提误差在哪个分布下测得，结论就只在该分布下有保证。

### 3.3 否决

**【用户】** 否决不定汇率，因为汇率是合成标量。否决把目标的声明域切开，归合法性核心。

- 跨族否决按它对目标 (e, u) 的改变报价：目标在保留部分和切走部分上的 e，以及 u 的变化。
- 族内否决是族的参数，体现在前沿上。

本 KB 的两条否决（K1012b、K1004）都在位移族内，所以本原型里没有按“对目标 (e, u) 的改变”单独报价的条目。页面仍列出它们切开默认成员的位置，供对照：

| 否决参数 | 在 K1001 声明域上切走的候选对 | 切走部分的 e | 保留部分的 e |
|---|---:|---:|---:|
| K1012b | 17 | 35.3% | 9.6% |
| K1004 | 14 | 14.3% | 10.3% |

## 4. 边际作用与交互效应

### 4.1 边际作用

**【用户】** 边际作用定义为加入前后体系坐标的变化：

Δ(K) = coord(K ∪ {族}) − coord(K)

它是向量 (Δe, Δc, Δu)，另报 Δρ\*。K 按 σ 的闭包计。

**【用户】** 单条知识报两个读数：“单独用”和“全 KB 留一”。按族的原则，读数的对象是族：

- 单独用：族的前沿，以及 KB 配置在前沿上的位置；
- 全 KB 留一：一次拿掉整族。

**【用户】标准读数：按族留一，读边际域上的转移表，不设回退。**

- 转移表逐题记录答案怎么变，例如“不答→对”“不答→错”“错→对”。
- 由转移表汇总出 Δ作答、Δ错题，以及新答题上的 ρ\*。
- 换成三轴：Δe = Δ错题数 / N，Δc = −Δ作答题数 / N，即每多答一题省一次完整训练。这等于定义稿 §2.4 回退到直接训练的结果。

**【用户】** 回退到截断试探或闭卷模型得到的数，标为“对某个使用者的价值”，另行报告，不作为族的价格。

选这种读法的理由【本文提出】：

- ρ\* 已经在相同误差下与截断试探比过，标准读数不必再选一个 ρ_f；
- 换回退方式时，各条目的排序相关只有 0.19–0.73，符号也会翻。

例如 D\* 族按族留一：

| 读数 | Δe | Δc |
|---|---:|---:|
| 标准读数（不设回退） | +7.6 点 | −19 点 |
| 对回退到 10% 截断试探的使用者 | +4.2 点 | −1.9 点 |
| 对回退到最强闭卷模型的使用者 | −0.6 点 | — |

**【本文提出】** 由此可见，“对某个使用者的价值”必须写明那个使用者的基体系、σ 和回退方式，否则没有确定的值。

### 4.2 交互效应

**【本文提出】** 把用户说的“合用比各自效果之和更好或更差”写成 2×2 对比，i、j 是族：

I_ij(K; f) = f(K ∪ {i, j}) − f(K ∪ {i}) − f(K ∪ {j}) + f(K)

f 取作答质量 A、误差质量 E，或补全体系的准确率。e 是条件量，加入一族会同时改变分子和分母，所以交互效应不直接用 e 计算。

**定理（本文提出）。** 对任意基体系 K 和任意 σ，I_ij 只在 i、j 都说话的题上非零。“说话”包括否决，也包括说在同一题的不同候选对上。

证明：A、E 和准确率都是逐题求和的量。在只有 i 说话的题上，加不加 j 都不改变这道题的答案，于是 f(K ∪ {i, j}) = f(K ∪ {i})，f(K ∪ {j}) = f(K)，四项相消。∎

数据检验：

- 族层面：28 对族里，21 对从不在同一题说话，交互效应全部恰为 0。
- 成员层面：378 对里有 272 对不相交，交互同样全部为 0。

推论：

- **互补**：没有交互，A 和 E 都可加。
- **重叠且一致**：次可加（I_A < 0），这就是冗余。
- **重叠且冲突**：符号取决于 σ 选对了谁。
- **组合**：可能协同（I_A > 0）。

## 5. 选择规则的地位

**【本文提出】** 选择规则本身也是知识，是关于“该信哪条”的知识，它会改变体系的价格。同一组 28 条规则，在五种选择规则下，(u, e) 从 (0.284, 19.8%) 变到 (0.334, 17.1%)。

选择规则如果用题目真值来学，必须交叉拟合【定义稿 §2.5】。本原型的两种优先级都不看真值：“具体者优先”只用声明域大小，“置信度优先”只用 KB 自带的 credibility。

## 6. 定义不够用的地方（摘要）

详见报告第 4 节。

1. **族的划分要人来定。** 本 KB 的边界情形已由用户定，见 §1.3。
2. **族的参数空间写不全。** 前沿只能在“扫描成员 ∪ KB 配置”上取。
3. **标准读数不选 ρ_f，代价只按“省下的完整训练”计。** 和预算有关的判断，例如规则锁死的错误何时比试探更贵，要看“对使用者的价值”和代价—误差平面上的交叉。
4. **跨族否决在本 KB 里没有实例**，已定的报价方式无法检验。
5. **闭包只做到传递性**；冗余是经验冗余。
6. **c 轴在规则体系里退化成 0**；闭卷模型推理开销记 0 只是惯例。
7. **小声明域上的 e 与 ρ\* 不稳定。**
8. **成对合同的真值有噪声**：1500 个候选对里有 120 对的胜负不到 2 个标准误。

**【用户】** 暂不做 LLM+KB 的 2×2 消融。120 题次下，一个交互对比的标准误约 7 点；即使用全部 500 题 × 4 臂，也只能降到约 3.5 点。